看護師なのですが、3回も転職の面接試験で落ちています。
3回くらいだったら結構普通かもしれませんね。求人数が多いといっても選ぶ方は色々と考えるものですから。
特に、希望条件が多いという人の場合には、転職試験になかなか通らないということがあります。
良い条件の病院などは（夜勤が少ないとか給料が多いとか）どうしても競争率が上がりますし。有名な病院だと多少条件が悪くてもいろいろな地域から看護師さんが転職しにやってきます。
3回くらいだったら別にそのままの条件で転職先探しを続けてもいいとは思いますが、あまり時間的余裕が無いとかこの後も何度か落ち続けるようであれば希望する条件を少し緩めてみたほうがいいと思います。
また、倍率が低くても転職に成功しないときには、病院側の求めているスキルや能力（スキルと同じかな？）とあなたのキャリアが一致していないということも考えられます。
看護師の転職サイトなどを利用しているのであれば一度担当者などと相談して自己分析をやり直してみたり、もう一つ別の転職サイトを使ってみて他の病院をあたってみるという工夫をするといいかもしれませんね。
どうしても見つからないというのなら、地域的な条件から緩めるのが一般的です。市町村から都道府県単位へ、都道府県でも見つからなかったら地域ブロックで探してみましょう。
看護師以外の職業だと、もっともっと求人数が少なく大変な時代です。3回くらい落ちたからといって諦めていては、今後仕事で困ったときに頑張れませんよ！